Séminaire Philmath

Guillaume Massas (SNS, Pise, Italie): 
Title: Two Applications of Possibility Structures to the Philosophy of Mathematics
Abstract : 
Possibility structures provide a semantics for classical logic that generalizes Tarskian model theory. The core feature of possibility structures is that formulas are evaluated in a partially ordered sets of viewpoints, rather than at a single point. Intuitively, any such viewpoint can be thought of as a partial approximation of the full structure. In this talk, I will present two applications of possibility structures to the philosophy of mathematics. In both cases, the starting point is an impossibility result, stating that no Tarskian structure can satisfy certain conditions. As I will argue, these conditions, however, become satisfiable once we consider possibility structures.

The first application is related to non-Cantorian notions of size for infinite sets of natural numbers. One can easily show that no Tarskian elementary extension of the natural numbers can be used to assign size relationships between sets of natural numbers in a way that 1) preserves the Euclidean intuition that a set is always larger than any of its proper subsets 2) is invariant under permutations of the set of natural numbers. By contrast, I will show how to construct such an assignment of sizes using possibility structures.

The second application is related to the semantics of second-order logic. Hale has recently proposed a “deflationist” conception of properties, according to which a property is simply whatever can be referred to by a predicate is some language. This conception motivates an alternative to the standard, full semantics of second-order logic which, according to Hale, still allows Dedekind’s proof of the categoricity of arithmetic to go through. Hale’s description of this semantics, however, remains informal. I will argue that the best way to develop a formal framework that is faithful to Hale’s ideas is to work with second-order possibility structures rather than Tarskian structures.

Emmylou Haffner (CNRS/ENS, ITEM)

Title :  Le carnet de notes d'Oswald Veblen sur les fondements de la géométrie : un laboratoire d'axiomatique ?
Abstract : Les brouillons, notes, carnets et autres documents d'archives conservés par les mathématiciens constituent leur atelier personnel. Ils montrent ce qui se passe 'en coulisses', avant la publication d'un texte rédigé pour communication à la communauté scientifique. Ils dévoilent des pratiques d'écriture conçues pour la recherche, et font partie intégrante de la pratique mathématique. C'est dans ce cadre que je propose d'examiner un cahier de notes d'Oswald Veblen sur les fondements de la géométrie, datant de 1901. Contenant des notes prises lors d'un séminaire donné par E. H. Moore à l'Université de Chicago, ce carnet documente à la fois l'enseignement de Moore à travers la lecture collective de sources contemporaines, et les réflexions personnelles de Veblen sur le sujet. Dans le prolongement de travaux menés avec J. Lorenat et N. Michel, je me concentrerai dans cet exposé sur trois aspects : la réappropriation des textes de Hilbert et de Peano, le processus de sélection des axiomes et la conception d'un nouveau système d'axiomes, la matérialité spécifique de l'écriture exposée dans les notes et son rôle dans les deux points précédents.

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